Aritmatika

Aritmatika atau aritmetika (dari kata bahasa Yunani αριθμός = angka) atau dulu disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang awam, kata "aritmatika" sering dianggap sebagai sinonim dari Teori Bilangan, tetapi bidang ini adalah bidang Aritmatika tingkat Lanjut yang berbeda dengan Aritmatika Dasar.

Sejarah

Peninggalan prasejarah tentang Aritmatika sangat terbatas pada beberapa artifak yang mengindikasikan adanya konsep Penambahan dan Pengurangan, yang paling terkenal adalah ‘The Ishango Bone’ di Afrika, diperkirakan berasal dari tahun 18.000 SM.

Tampak jelas bahwa bangsa Babilonia sudah memiliki hampir semua aspek dari Aritmatika Dasar (1850 SM), walaupun mereka tidak menggunakan basis desimal untuk menghitungnya. Mengenai konsep Perkalian dan Pembagian dapat ditemukan pada ‘Rind Mathematical Papyrus’ dari Mesir Kuno pada 1650 SM.

Algoritma Modern untuk Aritmatika (baik untuk manual maupun untuk komputasi) merupakan perkembangan dari angka Arab dan konsep notasi Desimal. Meskipun sekarang hal ini kelihatannya begitu sederhana, tetapi perkembangan ini merupakan puncak dari ribuan tahun perkembangan matematika kuno. Penemuan Aljabar selama peradaban Islam dan selama masa Renaisans Eropa merupakan perkembangan lebih lanjut dari penyederhanaan perhitungan melalui notasi Desimal ini.

Aritmatika Desimal

Notasi Desimal mengkonstruksi semua bilangan riil menjadi digit-digit, yang masing-masing dapat terdiri dari 10 macam simbol, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Setiap digit ini berkaitan dengan Posisinya yang relatif terhadap Titik Desimal., sebagai contoh 507.36 mempunyai arti 5 ratus (10^2), ditambah 7 satuan (10^0), ditambah 3 persepuluh (10^-1), dan ditambah 6 perseratus (10^-2). Bagian esensial di sini adalah adanya bilangan nol (0) sebagai simbol dasar dari notasi desimal, secara harfiah simbol nol berarti kosong. Selanjutnya Algoritma untuk Aritmatika Desimal menggunakan sistem nilai tempat atau Notasi Posisi ini, dimana setiap digit dalam bilangan mempunyai bobotnya masing-masing, untuk melakukan operasi dasar Aritmatika, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Operasi aritmatika

Operasi dasar aritmatika adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, walaupun operasi-operasi lain yang lebih canggih (seperti persentase, akar kuadrat, pemangkatan, dan logaritma) kadang juga dimasukkan ke dalam kategori ini. Perhitungan dalam aritmatika dilakukan menurut suatu urutan operasi yang menentukan operasi aritmatika yang mana lebih dulu dilakukan.

Aritmatika bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real umumnya dipelajari oleh anak sekolah, yang mempelajari algoritma manual aritmatika. Namun demikian, banyak orang yang lebih suka menggunakan alat-alat seperti kalkulator, komputer, atau sempoa untuk melakukan perhitungan aritmatika.

1. Penjumlahan (+) adalah salah satu operasi aritmatika dasar. Penjumlahan merupakan penambahan dua bilangan menjadi suatu bilangan yang merupakan Jumlah. Penambahan lebih dari dua bilangan dapat dipandang sebagai operasi Penambahan berulang, prosedur ini dikenal sebagai Penjumlahan Total (summation), yang mencakup juga penambahan dari barisan bilangan tak hingga banyaknya (infinite).

Penjumlahan mempunyai sifat Komutatif dan Assosiatif, oleh karena itu urutan penjumlahan tidak mempengaruhi hasilnya. Elemen identitas dari penjumlahan adalah nol (0), disini penambahan sembarang bilangan dengan identitas (nol) akan tidak akan merubah angka tersebut. Selanjutnya elemen bilangan invers dari penambahan adalah negatif dari bilangan itu sendiri, di sini penambahan suatu bilangan dengan inversnya akan menghasilkan identitas (nol).

2. Pengurangan (-) adalah lawan dari operasi penjumlahan. Pengurangan mencari ‘perbedaan’ antara dua bilangan A dan B (A-B), hasilnya adalah Selisih dari dua bilangan A dan B tersebut. Bila Selisih bernilai positif maka nilai A lebih besar daripada B, bila Selisih sama dengan nol maka nilai A sama dengan nilai B dan terakhir bila Selisih bernilai negatif maka nilai A lebih kecil daripada nilai B.

Pengurangan tidak mempunyai sifat baik Komutatif maupun Assosiatif. Oleh karena hal ini, terkadang pengurangan dipandang sebagai penambahan suatu bilangan dengan negatif bilangan lainnya, a - b = a + (-b). Dengan cara penulisan ini maka sifat Komutatif dan Assosiatif akan dipenuhi.

3. Perkalian (*) pada intinya adalah penjumlahan yang berulang-ulang. Perkalian dua bilangan menghasilkan Hasil Kali (product), sebagai contoh 4*3 = 4+4+4 = 12.

Perkalian, dipandang sebagai penjumlahan berulang, tentunya mempunyai sifat Komutatif dan Assosiatif. Lebih jauh lagi perkalian mempunyai sifat Distributif atas Penambahan dan Pengurangan. Elemen identitas untuk perkalian adalah satu (1), disini perkalian sembarang bilangan dengan identitas (satu) akan tidak akan merubah angka tersebut. Selanjutnya elemen bilangan invers dari perkalian adalah satu-per-bilangan itu sendiri, di sini perkalian suatu bilangan dengan inversnya akan menghasilkan identitas (satu).

4. Pembagian (/) adalah lawan dari perkalian. Pembagian dua bilangan A dan B (A/B) akan menghasilkan Hasil Bagi (quotient). Sembarang pembagian dengan bilangan nol (0) tidak didefinisikan. Selanjutnya bila nilai Hasil Bagi lebih dari satu, berarti nilai A lebih besar daripada nilai B, bilai Hasil Bagi sama dengan satu, maka berarti nilai A sama dengan nilai B, dan terakhir bila Hasil Baginya kurang dari satu maka nilai A kurang dari nilai B.

Pembagian tidak bersifat Komunitatif maupun Assosiatif. Sebagaimana Pengurangan dapat dipandang sebagai kasus khusus dari penambahan, demikian pula Pembagian dapat dipandang sebagai Perkalian dengan elemen invers pembaginya, sebagai contoh A/B =A*(1/B). Dengan cara penulisan seperti ini maka semua sifat-sifat perkalian seperti Komunitatif dan Assosiatif akan dipenuhi oleh Pembagian.